La falacia del jugador

La falacia del jugador

La estadística, probabilidad, combinatoria y todas estas ramas dentro de las matemáticas siempre me han llamado la atención.

Hay varios hechos curiosos. Alguno de ellos, como este, son los que me han hecho perder muchas horas creando, por ejemplo, métodos infalibles para ganar a la ruleta en un casino.

Lamentablemente, no lo hay.

Todo empezó cuando un anuncio de internet me ofrecía un método gratuito para ganar a la ruleta en casinos on-line (y por tanto en casinos reales, ¿no?). Seguramente lo has oído alguna vez:

Apuestas a rojo o negro, con lo que tienes casi un 50% de que te toque. Y no olvidemos, que en la ruleta hay CERO, y el cero no es ni rojo ni negro, aunque por lo menos si toca y has hecho esa apuesta, te develven la mitad.

Por tanto, apuestas a rojo o negro.

Si te toca, recoges tu ficha ganada y la que habías puesto (premio 1:1)

Si no te toca, pones el doble en la misma, en este caso 2 fichas. (Así si ganas recuperas la que has perdido antes).

Y así sucesivamente.

Este método “infalible” se basa en algo muy simple, no va a salir infinitas veces lo contrario ¿no? Aparte de lo que nos podamos fiar de un casino, tiene sentido aunque sólo ganamos una ficha cada vez.

Sin embargo, no estamos teniendo en cuenta 2 cosas:

  • Las mesas de ruleta tienen un tope de apuesta (aparte del tuyo por supuesto). Si vamos doblando cada vez que perdemos, rápidamente crece ese número: 1,2,4,8,16,32,64,128,… y a todo eso, si te encuentras perdiendo 7 veces seguidas y has de poner 128 fichas, no olvides las 127 que ya has perdido antes. Rápidamente alcanzas el límite si se da una improbable racha de mala suerte, pero que puede ocurrir (y te hacer perder más de lo que has ganado).
  • Por otro lado, como he escrito antes, existe el CERO. Si sale el cero y llevos apostadas 32 fichas… pierdo la mitad de estas. Pierdo 16 fichas de una.

Este método no garantiza a nadie ganar. Sólo serviría si tuvieses infinito dinero y el casino no tuviera límite y además no estuviera el CERO.

¿Qué tiene que ver esto con la falacia del jugador?

Lo voy a tomar como una ampliación. Rápidamente averigüé que el método de doblar cada vez que pierdes a rojo y negro no es real. Pero ¿Cuál es la probabilidad de que salga, por ejemplo, rojo después de una hilera de 5 rojos seguidos?

Lamentablemente y después de varios años, puedo confirmar, que la misma: 18/37 (casi un 50%).

Mucha gente dirá que no, que la probabilidad es (simplifiquemos por un momento y olvidemos el cero)

( ½ )^6

Bien, esa sería la probabilidad de que de ahora en adelante me salgan 6 rojos seguidos. Pero, como he dicho, si llego a la mesa y veo en la pantalla que lleva 5 seguidos, esa situación improbable ya se ha producido por aleatoriedad, y en el punto en que me encuentro puede salir tanto rojo como negro.

Igualmente muchos dirán que no. Yo mismo he hecho eso en los casinos aluna vez, de hecho suena muy convincente:

¿Cuál es la probabilidad de que salgan 6 rojos seguidos?   1.3%

Siendo tan baja, me espero dando vueltas por la sala y mirando las pantallas de las mesas. En cuanto veo una racha de 5 seguidas del mismo color, empiezo a apostar al color contrario.

Si fallo, es muy improbable que vuelva a salir el mismo. Apuesto el doble y así recupero lo perdido. (Pero sólo gano uno si acierto).

Qué convincente, pero nada más lejos de la realidad. Si fuera tan fácil, ¿cómo es que los casinos nunca se arruinan?

Vamos a ser un póco más lógicos. La trampa es esta. Estadísticamente es más probable que, por ejemplo, en dos tiradas después de esas 5, salga algún negro. De hecho es 3 veces más probable. Pero, también matemáticamente, perderías dinero haciéndolo.

Me explico: pongámonos en situación. Después de unas cuantas jugadas, salen 3 rojos seguidos. Y empezamos a apostar a negro. ¿Cuál es la probabilidad de que acertemos en 2 tiradas?

Como se puede ver en la imagen, hay 3 posibles caminos que lleven a esa solución:

  1. Que salga negro directamente: 48.6%
  2. Que salga rojo y luego negro:    23.6%
  3. Que salga cero y luego negro:      1.3%

Con lo cual si sumamos las probabilidades, tenemos un 73.5% de ganar. Y eso sólo en las 2 seguientes tiradas.

Pero aquí hay algo importante, no podemos olvidar que:

  • tanto si ganamos al principio o en la segunda, solo recibimos una ficha.
  • Mientras que si perdemos en la segunda, perdemos la primera ficha y las dos siguientes, o sea 3.
  • Podemos tener en cuenta o no el cero, si toca este número, nos devuelven la mitad de lo apostado en esa ronda.
    – Si toca cero en la primera, perdemos 0.5 fichas.
    – Si luego toca cero otra vez, perdemos 1 ficha más. En total, 1.5.
    – Si en vez de eso sale rojo, perdemos 2 fichas más, en total 2,5.
    – Si toca rojo primero y cero en la segunda, perdemos 2 fichas.

Si calculas el premio esperado, multiplicando la probabilidad de cada uno de los casos anteriores por el dinero recibido o perdido, obtenemos este dato:

El premio esperado es -0.034

Si no existiera el cero, saldría 0. Pero este valor le da la ventaja al casino a la larga. Concretamente, se perderían 3,4 fichas cada 100 veces que se hiciera esto de media.

Resumen

Después de todo esto, puede que esté todo aún más confuso que antes. Pero concreto los puntos:

No importa cuantas tiradas seguidas en una moneda sean cara, en ese momento la siguiente puede ser tanto cara como cruz. Lo dificil era que se produjera toda esa sucesión de caras o cruces, pero eso antes de que apareciera.

Lo mismo pasa en el casino, que aparte de evitar tácticas como la de doblar a rojo o negro con límites de apuestas, tiene ventaja matemática y sabe que ganará. Al menos, con la ruleta.

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